A ideia de infinito tem motivado, ao longo dos séculos, filósofos, teólogos, poetas e matemáticos. Dado que todos eles se exprimem através do finito, para tratar o infinito precisam de o traduzir em termos finitos. O termo “transmutação” serve aqui apenas para caracterizar esta aparente negação do infinito, ou seja, a sua transformação em finito, realizada com o intuito de o conhecer e trabalhar. A transmutação tem de facto dois sentidos, pois também ocorrem transmutações do finito em infinito. Será posto em evidência que foi precisamente assim que o infinito matemático surgiu - como resultado do aprofundamento de questões de natureza finita.
A transmutação do infinito adquire várias formas, de acordo com os diferentes pontos de vista considerados - o filosófico, o teológico, o físico ou o matemático. Serão aqui tratadas essencialmente as formas matemáticas, embora se faça referência a outros tipos de transmutação.
O tratamento matemático do infinito será abordado com recurso a um mínimo de fórmulas ou de equações. Como diz Guillen em “Pontes para o infinito”1, uma confusão acerca da matemática consiste na suposição de que ela só pode ser convenientemente expressa em termos de símbolos. Para apoiar esta afirmação, Guillen cita um episódio da vida de Riemann (1826-1866), um dos mais importantes matemáticos do séc. XIX. Quando da sua admissão como académico na agora famosa Universidade de Gotingen, Riemann apresentou um trabalho sobre um tópico altamente técnico – os fundamentos da geometria – sem nele incluir uma única equação.
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